【阅读新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x2+bx+c=0的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（

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【阅读新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程x2+bx+c=0的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（-b,c），以AB为直径作⊙P．若⊙P交x轴于点M（m,0）、N（n,0），则m、n为方程x2+bx+c=0的两个实数根．
【探究新知】
（1）由勾股定理得，AM2=12+m2，BM2=c2+（-b-m）2，AB2=（1-c）2+b2．
在Rt△ABM中，AM2+BM2=AB2，所以12+m2+c2+（-b-m）2=（1-c）2+b2．
化简得：m2+bm+c=0．同理可得：

n2+bn+c=0

n2+bn+c=0

．
所以m、n为方程x2+bx+c=0的两个实数根．
【运用新知】
（2）在图2中的x轴上画出以方程x2-4x-2=0两根为横坐标的点M、N．
（3）已知点A（0，1）、B（-10，25），以AB为直径作⊙C．判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由．
【拓展提升】
（4）在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a）、B（-b,c），若以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程是

x2+bx+ac=0

x2+bx+ac=0

．

【答案】n2+bn+c=0；x2+bx+ac=0

【解答】

【点评】

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发布：2024/9/4 7:0:9组卷：185引用：1难度：0.1

相似题

1．如图1，以点O为圆心，半径为4的圆交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，点P为劣弧AC上的一动点，延长CP交x轴于点E；连接PB，交OC于点F．
（1）若点F为OC的中点，求PB的长；
（2）求CP•CE的值；
（3）如图2，过点O作OH∥AP交PD于点H，当点P在弧AC上运动时，连接AC，PC．试问△APC与△OHD相似吗？说明理由；

AP

DH

的值是否保持不变？若不变，试证明，求出它的值；若发生变化，请说明理由．

发布：2025/6/24 18:30:1组卷：272引用：1难度：0.5

2．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．
如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．画法：
（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；
（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD．则直线AD就是过点A的圆的切线．
请回答：①这种画法是否正确 （是或否）；
②你判断的依据是：．

发布：2025/6/25 8:0:1组卷：19引用：1难度：0.4

3．如图，已知⊙O′与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，圆心O′的坐标是（1，-1），半径为

√

5

．
（1）比较线段AB与CD的大小；
（2）求A、B、C、D四点的坐标；
（3）过点D作⊙O′的切线，试求这条切线的解析式．

发布：2025/6/24 20:0:2组卷：43引用：1难度：0.5

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