级数收敛的 阿贝尔

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14.3.3 级数收敛的 Abel－Dirichlet 判别法

一．Abel 不等式

回顾 §10．3．4 中的 Abel 变换，即有

∑i=1naibi=∑i=1nbi(Si−Si−1)=∑i=1nbiSi−∑i=1n−1bi+1Si=bnSn+∑i=1n−1(bi−bi+1)Si

其中 S0=0,Sk=∑i=1kai,k=1,⋯,n ．
下面将利用 Abel 变换证明 Abel 不等式，然后用它推出两个新的判别法．
定理14．5（Abel 不等式）设给定 {ak}1⩽k⩽n 与 {bk}1⩽k⩽n ，其中 {bk}1⩽k⩽n单调，则成立不等式

|a1b1+⋯+anbn|⩽(|b1|+|bn|)max1⩽l⩽m⩽n|al+⋯+am|.

证 分几种情况．
（i）设 {bk}1⩽k⩽n 单调减少且非负，记 Sk=a1+⋯+ak,k=1,⋯,n ， M=max1⩽l⩽m⩽n|al+⋯+am| ，则有不等式

−M⩽Sk⩽M∀k=1,⋯,n

对上述不等式分别乘以 (b1−b2),⋯,(bn−1−bn),bn 并相加，由于这些数都是非负的，因此不等式的方向不会改变．这时从 Abel 变换知道不等式的中间部分就是 a1b1+⋯+anbn ，从而得到

−Mb1⩽a1b1+⋯+anbn⩽Mb1

即得到

|a1b1+⋯+anbn|⩽Mb1(=M|b1|)

（ii）设 {bk}1⩽k⩽n 单调减少，且 b1⩾⋯⩾bk⩾0⩾bk+1⩾⋯⩾bn ，则有

|a1b1+⋯+anbn|⩽|a1b1+⋯+akbk|+|an(−bn)+⋯+ak+1(−bk+1)|⩽M(|b1|+|bn|).

（iii）{bk}1⩽k⩽n 单调增加，则将顺序颠倒即可．

二．Abel－Dirichlet 判别法

这是两个比较精细的判别法．它们依赖于将级数的通项作适当的分解．由于它们的条件相近，证明也类似，我们将它们放在一起来证明．但在具体使用时还是需要搞清楚每一个判别法的确切条件，以及到底是用哪一个判别法．

注 这里可以参见 §11．3．2，即广义积分的 Abel－Dirichlet 判别法．证明它们的工具是积分第二中值定理。而这个定理也是以 Abel 定理为基础的（见 §10．3．4）．
（1）Abel 判别法 若级数 ∑n=1∞an 收玫，数列 {bn} 单调有界，则 ∑n=1∞anbn 收玫．
（2）Dirichlet 判别法 若级数 ∑n=1∞an 的部分和数列 {Sn} 有界，数列 {bn} 单调收玫于 0 ，则 ∑n=1∞anbn 收玫．
证 以无穷级数的 Cauchy 收玫准则（即定理 14．1）为基础来证明这两个判别法．首先，由于在两个判别法中 {bn} 均单调，因此从 Abel 不等式就有

|an+1bn+1+⋯+an+pbn+p|⩽(|bn+1|+|bn+p|)maxn+1⩽l⩽m⩽n+p|al+⋯+am|.

这是证明两个判别法的共同基础．
（1）在 Abel 判别法中，取 M>0 使得 |bn|⩽M∀n ，并对 ∑n=1∞an 用 Cauchy 收玫准则，对 ∀ε>0,∃N,∀n⩾N,∀p∈N:|an+1+⋯+an+p|<ε2M ，则同时也就有

|an+1bn+1+⋯+an+pbn+p|<(|bn+1|+|bn+p|)⋅ε2M⩽ε

可知 ∑n=1∞anbn 收玫．
（2）在 Dirichlet 判别法中，取 M>0 使得 |Sn|⩽M∀n 成立，这时对任何 l⩽m,|al+⋯+am|=|Sm−Sl−1|⩽2M ．然后对 ∀ε>0,∃N,∀n⩾N:|bn|< ε4M ，则就对 ∀p∈N 有

|an+1bn+1+⋯+an+pbn+p|<(|bn+1|+|bn+p|)⋅maxn+1⩽l⩽m⩽n+p|al+⋯+am|⩽ε2M⋅2M⩽ε

可知 ∑n=1∞anbn 收玫．
下面以例题的形式对这两个

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