理论力学笔记（六）：碰撞与散射

粒子分裂

动量与能量守恒会给出力学过程的很多性质，而且这些性质不依赖与具体的相互作用细节。

我们先讨论一个粒子在无外力的作用下分裂成两个粒子的过程。在与分裂前粒子的静止参考系中观察是容易的。

0→1+20 \rightarrow 1 + 2

分裂前后动量守恒：

0=p1+p20 = \bm{p}_1 + \bm{p}_2

能量守恒：

E0=E1+p122m1+E2+p222m2E_0 = E_1 + \frac{p_1^2}{2m_1} + E_2 + \frac{p_2^2}{2m_2}

注意上式中 EiE_i 表示的是粒子的“内能”，并不包括粒子运动的动能。由此在粒子分裂的过程中，初始粒子的内能转化为了分裂后粒子的动能，我们定义分裂能[1]^{[1]}：

ε=E0−E1−E2=p122m1+p222m2\varepsilon = E_0 - E_1 - E_2 = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2}

我们之前谈到，对于两体问题，可以把动能分为相对动能与质心动能：

Ek=12Mvc2+12μu2E_k = \frac{1}{2}Mv_c^2 + \frac{1}{2}\mu u^2

于是，在粒子分裂过程中，分裂能全部转化为相对动能。

下图展示的是 m1=m2m_1 = m_2 时的分裂情况，对于 m1≠m2m_1 \neq m_2 的一般情况，也好想象。

一般的，我们令粒子1在质心系中的速度为 vc1\bm{v}_{c1}，与 V\bm{V} 的夹角为 χ1\chi_1:

若无特别说明，χ\chi 均指在质心系中的散射角；θ\theta 指在实验系中的散射角。

v1=V+vc1\bm{v} _ 1 = \bm{V} + \bm{v} _ {c1}

容易得到：

{v1cos⁡θ1=V+vc1cos⁡χ1v1sin⁡θ1=vc1sin⁡χ1\left\{ \begin{aligned} & v_1 \cos\theta_1 = V + v_{c1}\cos\chi_1\\ & v_1 \sin\theta_1 = v_{c1}\sin\chi_1 \end{aligned} \right.

进而有：

{v12=V2+vc12+2Vvc1cos⁡χ1tan⁡θ=vc1V+vc1cos⁡χ1\left\{ \begin{aligned} & v_1^2 = V^2 + v_{c1}^2 + 2Vv_{c1}\cos\chi_1\\ &\tan\theta = \frac{v_{c1}}{V + v_{c1}\cos\chi_1} \end{aligned} \right.

在物理学中经常遇到多个相同粒子分裂的情况，此时粒子分裂的出射角度是随机的。在质心系中观察粒子分裂得到的结果是很显然的：分裂的粒子将会以等同概率的向任意立体角出射。对于讨论实验系中的粒子分裂问题，此时母粒子以速度 VV 运动。尽管在质心系中粒子仍然对任何立体角以等同概率出射，但此时在实验系中所观察到的粒子的角分布会改变。

例如，以上在质心系中观察到的应当是均匀分布（以下省略下标1）：

P(χ)=dΩ4π=12sin⁡χdχP(\chi) = \frac{d\Omega}{4\pi}=\frac{1}{2}\sin\chi d\chi

对应到实验系中，利用上述方程组，可得：

−2Vvcsin⁡χdχ=dv2=2mdT-2Vv_{c} \sin\chi d\chi = dv^2 = \frac{2}{m}dT

改变 dTdT 符号，使得 dT>0dT > 0，有：
可得：

P(T)=dT2mvcVP(T) = \frac{dT}{2mv_cV}

对应的物理含义为：在实验系中观察到的粒子对动能均匀分布。

角度分布也容易得到：

dθcos⁡2θ=vc2sin⁡χ(V+vccos⁡χ)2dχ=tan⁡2θsin⁡χdχ\frac{d\theta}{\cos^2\theta}=\frac{v_{c}^2\sin\chi}{(V+v_c\cos\chi)^2}d\chi = \tan^2\theta \sin\chi d\chi

即：dθ=sin⁡2θsin⁡χdχd\theta = \sin^2\theta\sin\chi d\chi

由此：

P(θ)=12sin⁡θdθ=12sin⁡χdχsin⁡3θ=vc3v3P(χ)\begin{aligned} P(\theta) &= \frac{1}{2}\sin\theta d\theta\\ &= \frac{1}{2}\sin\chi d\chi \sin^3\theta\\ &= \frac{v_c^3}{v^3} P(\chi) \end{aligned}

粒子碰撞

碰撞 是粒子在短时间内发生相互作用然后改变运动状态的过程。在碰撞的过程中，由于动量守恒，质心动能守恒，但是相对动能可能会损失，转化为其他形式的能量（注意，此处的损失是针对初态和末态而言的）。若相对动能损失了，则称为 非弹性碰撞；若相对动能完全损失，则称为 完全非弹性碰撞；若相对动能未损失，则称为 弹性碰撞。对于两体碰撞而言，可以用恢复系数 ee 来表征碰撞的弹性。

注意，我们一般只对于宏观物体，谈论弹性和非弹性。宏观物体发生碰撞，相对动能常常转化为内能耗散掉，恢复系数 ee 只与碰撞的材料有关。

恢复系数定义为碰前后两体的相对速度之比：

e=ufuie = \frac{u_\mathrm{f}}{u_{\mathrm{i}}}

对于完全非弹性碰撞来说，如果从末态往初态看（从一个整体变成两个粒子），就是一个分裂过程。并且，完全非弹性碰撞由于知道末态只有整体运动，进行分析是很容易的。

启发式的，对于碰撞过程来说，我们可以假设存在一个中间态，此态中的相对动能为零（只有整体运动）。那么任何一个碰撞问题，都可以看作从中间态分别到初态、末态的分裂问题。

对于弹性碰撞的求解，使用恢复系数方程（碰撞前后相对速度不变）去代替能量守恒方程会简化问题的求解。

更一般的，若考虑碰撞的物体的形状，恢复系数可定义为碰撞点在碰撞前后的相对速度的比值。此时的碰撞情况更为复杂，但利用动量守恒，角动量守恒，能量守恒（或恢复系数方程），是可以解决问题的。若知道碰撞面的性质，例如碰撞面是光滑的，此时可以得到碰撞的冲量必定沿法向，此时能够完全把末态确定下来。

粒子散射

在粒子碰撞中，我们只是通过一些守恒律对可能的末态进行了讨论。如果我们知道相互作用的细节（散射势），就能够确定散射角。

Fig: 粒子散射 [1]^{[1]}

不失一般性的，我们考虑一个质量为 mm 的粒子在中心势 U(r)U(r) 的散射情况。我们假设粒子从无穷远处入射，经过中心势散射后运动往无穷远处。假设粒子运动最近到 AA 点，此时到 OO 距离为 rminr_{min}，rminr_{min}。不难得到，粒子运动轨迹应当关于 OAOA 是对称的。入射轨道的渐近线与散射势中心 OO 的距离为 瞄准距离，记作 r∞r_{\infty}。粒子散射过程中转过的角度 χ\chi 称为 散射角。

对于两体问题，可以将 mm 认为是约化质量，以下的讨论仍然适用。

若该势能具有性质：lim⁡r→∞=0\lim_{r\rightarrow\infty} = 0，可以在无穷远处很方便的表示散射过程中的一些守恒量：

E=12mv∞2,L=mρv∞E = \frac{1}{2}mv_{\infty}^2,\quad L = \frac{m}\rho v_{\infty}

根据上一篇笔记对中心势的讨论，我们可以把散射角写为：

χ=2∫rmin∞(L/r2)dr2m(E−U(r))−L2/r2=2∫rmin∞(ρ/r2)dr1−ρ2/r2−2U/mv∞2\begin{aligned} \chi &= 2\int_{r_{min}}^{\infty} \frac{(L/r^2) dr}{\sqrt{2m(E-U(r))-L^2/r^2}} \\ & = 2\int_{r_{min}}^{\infty}\frac{(\rho/r^2)dr}{\sqrt{1-\rho^2/r^2-2U/mv^2_{\infty}}}\\ \end{aligned}

由此只要给定 ρ\rho，v∞v_{\infty}，U(r)U(r)。我们可以根据守恒律得到 rminr_{min}。散射角也就可以通过上式确定。

在大多数时候，我们并不关心一组特定参数下的散射角，我们往往关心一簇入射粒子的散射角的分布情况。简单地，我们考虑在无穷远处，有一簇速度为 v∞v_{\infty} 的全同粒子束（我们假设这个粒子束在横截面上是均匀分布的）。

我们假定 χ\chi 与 ρ\rho 是一一对应的，那么瞄准距离 ρ\rho 相同的粒子，散射角度也相同。

可以得到，散射角为 χ∼χ+dχ\chi\sim\chi+d\chi 内的粒子数就等同于瞄准距离在 ρ∼ρ+dρ\rho\sim \rho + d\rho 的粒子数，这将正比与面积 dσd\sigma。

dn(χ)=dn(ρ)∼dσ=2πρdρdn(\chi) = dn(\rho) \sim d\sigma = 2\pi \rho d\rho

我们称 dσd\sigma 为 有效截面：

dσ=2πρ∣dρ(χ)dχ∣dχd\sigma = 2\pi \rho |\frac{d\rho(\chi)}{d\chi}| d\chi

其除以散射的立体角 dΩd\Omega，得到 微分散射截面：

dσdΩ=2πρ∣dρ(χ)dχ∣dχ2πsin⁡χdχ=ρsin⁡χ∣dρ(χ)dχ∣\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{2\pi \rho |\frac{d\rho(\chi)}{d\chi}| d\chi}{2\pi \sin\chi d\chi} = \frac{\rho}{\sin\chi}|\frac{d\rho(\chi)}{d\chi}|

对所有可能角度的散射进行积分，得到 总散射截面：

σt=∫0π2πρ∣dρ(χ)dχ∣dχ\sigma_t = \int_{0}^{\pi} 2\pi \rho |\frac{d\rho(\chi)}{d\chi}| d\chi

散射截面是一个很重要的物理量，特别是在粒子物理领域中。

卢瑟福散射

我们现在对卢瑟福散射应用得到的散射截面公式。卢瑟福散射是指带电粒子在库伦场中的散射。

设散射势为：

U=arU = \frac{a}{r}

其中 a>0a>0 对应排斥势，a<0a<0 对应吸引势。
我们可以根据本节公式求出散射角。但其实这个问题在上篇的开普勒问题中已经进行了求解，我们不妨直接运用公式：

ρ=p1+ecos⁡φ,e=1+(mρv∞2a)2\rho = \frac{p}{1 + e\cos\varphi},\quad e = \sqrt{1 + (\frac{m\rho v_{\infty}^2}{a})^2}

令 ρ=±∞\rho = \pm \infty，可得：

φ0=arccos⁡11+(mρv∞2a)2,χ=π−2φ0\varphi_0 = \arccos \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{m\rho v_{\infty}^2}{a})^2}},\quad \chi = \pi - 2\varphi_0

如下图所示，分别给出粒子在排斥势与吸引势中的散射情况，无论哪种情况，以上推导都是适用的。

Fig：粒子在排斥势与吸引势中的散射

由此可得：

(mv∞2a)2ρ2=tan⁡2(φ0)=cot⁡2(χ2)(\frac{m v_{\infty}^2}{a})^2 \rho^2 = \tan^2(\varphi_0) = \cot^2(\frac{\chi}{2})

可以计算有效截面：

dσ=π(amv∞2)2cos⁡(χ2)dχsin⁡3(χ2)=(a2mv∞2)2dΩsin⁡4(χ2)d\sigma = \pi(\frac{a}{m v_{\infty}^2})^2 \frac{\cos(\frac{\chi}{2})d\chi}{\sin^3(\frac{\chi}{2})} = (\frac{a}{2m v_{\infty}^2})^2 \frac{d\Omega}{\sin^4(\frac{\chi}{2})}

这就是 卢瑟福公式。现在考虑换到实验系中去。我们令靶粒子是静止的。我们先考虑一下其中的几何关系。其中 vv 表示实验系中的速度，uu 表示质心系中的速度，脚标1,2表示粒子1,2，其中令粒子1为入射粒子，且 m1<m2m_1 < m_2。脚标 i,fi,f 表示初态、末态。

可得

χ=π−2θ2\chi = \pi - 2\theta_2

这种情况下（粒子2静止），粒子2的有效散射截面是容易给出的：

dσ2=2π(a2mv∞2)2sin⁡θ2cos⁡3θ2dθ2=(amv∞2)2dΩ2cos⁡3θ2d\sigma_2 = 2\pi (\frac{a}{2mv_{\infty}^2})^2 \frac{\sin\theta_2}{\cos^3\theta_2} d\theta_2 = (\frac{a}{mv_{\infty}^2})^2 \frac{d\Omega_2}{\cos^3\theta_2}

但此时粒子 11 的有效散射截面公式很复杂。我们仅考虑两种特殊情况。

dσ1=(a4E1)2dΩ1sin⁡4(θ12)d\sigma_1 = (\frac{a}{4E_1})^2 \frac{d\Omega_1}{\sin^4(\frac{\theta_1}{2})}

dσ1=(aE1)2dΩ1sin⁡4(θ1)d\sigma_1 = (\frac{a}{E_1})^2 \frac{d\Omega_1}{\sin^4(\theta_1)}

由于两个粒子质量相等，我们无法区分散射后的粒子那个之前是静止的、那个是运动的。因此，我们选择把两个粒子的有效散射截面相加，得到总有效散射截面为（使用统一的 dσ,dΩ,θd\sigma,d\Omega,\theta）：

dσ=(aE1)2(1sin⁡4θ+1cos⁡4θ)cos⁡θdΩd\sigma = (\frac{a}{E_1})^2 (\frac{1}{\sin^4\theta}+\frac{1}{\cos^4\theta})\cos\theta d\Omega

参考资料