奥数思维拓展：圆（含解析）

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奥数思维拓展：圆-2025-2026学年数学六年级上册北师大版
一、选择题
1．汽车车轮的半径是0.3米，滚动10圈，前进（ ）米。（π取3.14）
A．18.84 B．2.826 C．28.26 D．9.42
2．两个圆的直径相差2分米，周长相差（ ）分米。
A．2 B．4 C．π D．2π
3．丽水小区原有一个直径为8米的圆形花坛，扩建后，新的圆形花坛周长为37.68米，这个花坛扩建后的直径比原来增加了（ ）米。
A．4 B．2 C．6 D．8
4．如图中阴影部分的面积是（ ）。
A．5.78m2 B．6.86m2 C．8.32m2 D．9.42m2
5．将一个圆的周长扩大到原来的3倍，它的面积就扩大到原来的（ ）倍。
A．3 B．6 C．9 D．18
6．用一根铁丝围成一个最大的正方形，它的边长是15.7厘米，如果用这根铁丝围成一个最大的圆，它的半径是（ ）厘米。
A．6.28 B．10 C．12.56 D．20
7．下面三个图形中，三个正方形的边长相等，阴影部分面积相比较（ ）。
A．一样大 B．①大 C．②大 D．③大
8．如图，正方形的面积是25cm2，求阴影部分面积列式正确的是（ ）。
A．3.14×25 B．3.14×25×
C．3.14×25× D．3.14×25－25
二、填空题
9．一个挂钟的分针长20厘米，经过时后，这根分针的尖端所走的路程是( )厘米。
10．如图，把一个半径为2分米的圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长是( )分米，面积是( )平方分米。
11．一根铁丝正好可以围成一个半径是6厘米的圆，如果用这根铁丝围成一个等边三角形，这个三角形的边长是( )厘米。
12．一头牛用5米长的绳拴在一个长方形小屋外的墙角处，小屋长4米宽3米，小屋周围都是草地，牛能吃到草的草地面积为( )平方米。
13．大圆的半径和小圆的直径相等，大圆的周长是小圆周长的( )倍。
14．如图，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D处各有一根木桩，且AB＝BC＝CD＝3米。现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上。为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在( )处的木桩上。
三、计算题
15．计算如图中阴影部分的面积。
16．求如图图形中阴影部分的周长和面积。（单位：厘米）
17．计算如图中阴影部分的面积。
18．求下面各图中阴影部分的周长和面积。

四、解答题
19．绿化队的李叔叔为新栽的小树穿“防寒衣”。他用一条长9米的粗细均匀的草绳在一棵小树的树干上围了30圈，草绳还剩下0.63米。这棵小树的树干直径是多少米？（取3.1，得数保留两位小数）
20．一个半圆形花坛的周长是30.84米，它的占地面积是多少平方米？
21．公园中有一个半圆形的花坛（如右图所示），沿着花坛的一周围上篱笆，张红计算后认为篱笆长25.7米，半圆形花坛的占地面积是39.25平方米，你认为张红计算的结果正确吗？请写出你的思考过程。
22．如图，正方形的边长是2厘米，四个圆的圆心分别是正方形的顶点。正方形中被圆盖住的面积是多少平方厘米？
23．如图，小明家周末招待客人，爸爸拿出4瓶啤酒，将这4瓶啤酒用绳子扎在一起。小明测量了瓶底的直径后，马上算出了绳子的长度。你能算出来吗？
24．红星小学在劳动实践基地的正方形草坪上新安装了两个喷头（如图），喷头的喷灌范围是半径为6米的圆。两个喷头都能喷到的草坪面积是多少平方米？
《奥数思维拓展：圆-2025-2026学年数学六年级上册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A B C B A C
1．A
【分析】车轮滚动10圈，前进了10个周长的距离，根据C＝2πr计算解答。
【详解】2×3.14×0.3×10
＝6.28×0.3×10
＝1.884×10
＝18.84（米）
汽车车轮的半径是0.3米，滚动10圈，前进18.84米。
故答案为：A
2．D
【分析】根据题意，圆的周长C＝πd，设其中一个圆的直径是d，另一个直径是（d＋2），分别表示出周长，再求差，据此解答。
【详解】解：设一个圆的直径是d分米，另一个直径是（d＋2）分米。
其中一个圆的周长是πd（分米）
另一个圆的周长是π×（d＋2）＝πd＋2π（分米）
两个圆的周长差是πd＋2π－πd＝2π（分米）
故答案为：D
3．A
【分析】根据圆的周长公式：C＝2πd，把数代入即可求出新的圆的直径，再与原圆形花坛的直径8米进行比较即可。
【详解】（米）
（米）
这个花坛扩建后的直径比原来增加了4米。
故答案为：A
4．B
【分析】观察图形可知，长方形的宽等于圆的半径；阴影部分的面积＝长方形的面积－圆的面积，根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。
【详解】5×2－3.14×22×
＝10－3.14×4×
＝10－3.14
＝6.86（m2）
阴影部分的面积是6.86m2。
故答案为：B
5．C
【分析】圆的周长＝，圆的面积＝。则周长扩大到原来的3倍的时候半径也扩大到原来的3倍，面积扩大半径扩大的平方倍，为9倍。例：假设原来圆的周长是6.28厘米，则半径＝6.28÷3.14÷2＝1（厘米），此时圆是面积＝3.14×12＝3.14（平方厘米）。周长扩大原来的3倍，则现在的圆的周长是6.28×3＝18.84（厘米），则半径＝18.84÷3.14÷2＝3（厘米），此时圆的面积＝3.14×32＝28.26（平方厘米），则半径扩大到原来的3倍，面积反而扩大到原来的9倍。
【详解】假设圆的周长是6.28厘米，
半径：6.28÷3.14÷2
＝2÷2
＝1（厘米）
面积：3.14×12
＝3.14×1
＝3.14（平方厘米）
周长扩大原来的3倍，
6.28×3＝18.84（厘米）
半径：18.84÷3.14÷2
＝6÷2
＝3（厘米）
面积：3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
对边半径：3÷1＝3
对比面积：28.26÷3.14＝9
故答案为：C
6．B
【分析】根据正方形的周长＝边长×4，求出这根铁丝的周长也就是圆的周长，然后圆的周长公式C＝2πr，求出圆的半径即可。
【详解】15.7×4＝62.8（平方厘米）
62.8÷3.14÷2
＝20÷2
＝10（厘米）
它的半径是10厘米。
故答案为：B
7．A
【分析】①阴影部分的面积＝正方形的面积－空白圆的面积；②四个空白的扇形通过平移可以组成一个圆，则阴影部分的面积＝正方形的面积－空白圆的面积；③两个空白半圆通过平移可以组成一个圆，则阴影部分的面积＝正方形的面积－空白圆的面积。三个正方形的边长相等，则面积相等；空白圆的直径相等，面积也相等。据此解答。
【详解】通过分析可得：阴影部分面积都等于正方形的面积减去空白圆的面积，则它们相比较，一样大。
故答案为：A
8．C
【分析】从图中可知，正方形的边长等于圆的半径r，根据正方形的面积公式S＝a2可知，正方形的面积正好是圆的半径的平方即r2，把r2＝25代入圆的面积公式S＝πr2中，求出圆的面积；
图中的阴影部分占整个圆的，用圆的面积乘，即是阴影部分的面积。
【详解】3.14×25×
＝78.5×
＝58.875（cm2）
阴影部分的面积是58.875cm2。
求阴影部分面积列式正确的是3.14×25×。
故答案为：C
9．
94.2
【分析】挂钟的分针绕着钟面中心做圆周运动，分针的长度就是这个圆的半径20厘米；因为分针1小时（60分钟）转一圈，即走一个完整的圆周长，经过时，说明分针尖端所走的路程是圆周长的；接着用圆周长公式C＝2πr计算出圆的周长，再乘，即可得分针尖端走的路程。
【详解】2×3.14×20×
＝6.28×20×
＝125.6×
＝94.2（厘米）
所以这根分针的尖端所走的路程是94.2厘米。
10． 16.56 12.56
【分析】由圆的面积公式推导过程可知：将圆剪拼成一个近似的长方形，圆的周长就等于这个长方形的长的2倍，长方形的宽等于圆的半径，根据圆形周长＝直径×圆周率求出圆形周长，再除以2求出长方形的长，再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽解答即可。
【详解】长方形的长：
2×3.14×2÷2
＝12.56÷2
＝6.28（分米）
长方形的周长：
（6.28＋2）×2
＝8.28×2
＝16.56（分米）
6.28×2＝12.56（平方分米）
把一个半径为2分米的圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长是16.56分米，面积是12.56平方分米。
11．12.56
【分析】根据C＝2πr求出圆周长，它也是铁丝长，也是等边三角形周长，用周长除以3就是三角形的边长，据此解答。
【详解】2×3.14×6÷3
＝37.68÷3
＝12.56（厘米）
故这个三角形的边长是12.56厘米。
12．62.8
【分析】如图所示，牛所能活动的区域为一个半径为5米的圆和一个半径为1米的圆以及一个半径为2米的圆的面积之和，分别计算其面积，再相加即可。
【详解】5－4＝1（米）
5－3＝2（米）
（平方米）
所以牛能吃到草的草地面积为62.8平方米。
13．2
【分析】已知大圆的半径和小圆的直径相等，可以设大圆的半径是2，则小圆的直径是2；
根据圆的周长公式C＝πd或C＝2πr，分别求出大圆、小圆的周长，再用大圆的周长除以小圆的周长，即可求出大圆的周长是小圆周长的几倍。
【详解】设大圆的半径是2，则小圆的直径是2；
大圆的周长：2×π×2＝4π
小圆的周长：π×2＝2π
4π÷2π＝2
大圆的半径和小圆的直径相等，大圆的周长是小圆周长的（2）倍。
14．B
【分析】根据题意，正方形池塘的边长是12米，用长4米的绳子将一头羊拴在池塘边A、B、C、D处的一根木桩上；那么拴在不同的木桩处羊的活动区域分别是：
在点A和点C处的活动面积都等于半径为4米的圆的面积的，加上半径是（4－3）米的圆的面积的；
在点B处的活动面积等于半径是4米的圆的面积的；
拴在点D处，因为BD＝3＋3＝6米，6＞4，所以在点D处的活动面积等于半径是4米的圆的面积的；
根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，分别求出栓在不同位置羊的活动区域面积，再比较大小，得出应将绳子拴在哪处的木桩上，羊的活动区域面积最大。
【详解】在点A和点C处的活动面积：
3.14×42×＋3.14×（4－3）2×
＝3.14×16×＋3.14×12×
＝3.14×16×＋3.14×1×
＝25.12＋0.785
＝25.905（平方米）
在点B处的活动面积：
3.14×42×
＝3.14×16×
＝37.68（平方厘米）
在点D处的活动面积：
3.14×42×
＝3.14×16×
＝25.12（平方厘米）
37.68＞25.905＞25.12
为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（B）处的木桩上。
15．6.28cm2
【分析】观察图形可得：阴影部分的面积＝半径为4cm圆的面积的－直径为4cm的半圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。
【详解】3.14×42×－3.14×（4÷2）2×
＝3.14×42×－3.14×22×
＝3.14×16×－3.14×4×
＝12.56－6.28
＝6.28（cm2）
阴影部分的面积是6.28cm2。
16．41.12厘米；32平方厘米
【分析】通过观察图形可知，阴影部分的周长等于正方形的两条边长加上直径是8厘米的圆的周长。
阴影部分的面积通过转化，可以转化为正方形面积的一半。计算时，用到的公式有：圆的周长公式：C＝πd，正方形的面积公式：S＝a2；据此解决。
【详解】8×2＋3.14×8
＝16＋25.12
＝41.12（厘米）
8×8÷2
＝64÷2
＝32（平方厘米）
即，阴影部分的周长是41.12厘米，阴影部分的面积是32平方厘米。
17．13.76dm2
【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。
【详解】8×8－3.14×82×
＝64－3.14×64×
＝64－50.24
＝13.76（dm2）
阴影部分的面积是13.76dm2。
18．20.7厘米；9.8125平方厘米；50.24厘米；50.24平方厘米
【分析】（1）阴影部分的周长＝半径为5厘米圆周长的＋直径为5厘米圆周长的＋半径5厘米；阴影部分的面积＝半径为5厘米圆面积的－直径为5厘米圆面积的；
（2）由图可知，阴影部分由四条曲线组成，左右两边阴影部分的形状相同，阴影部分的周长＝直径为8厘米圆的周长＋半径为8厘米圆周长的；阴影部分的面积＝（半径为8厘米圆面积的－直径为8厘米圆面积的）×2，据此解答。
【详解】（1）周长：
＝
＝
＝
＝15.7＋5
＝20.7（厘米）
面积：
＝
＝
＝
＝
＝
＝9.8125（平方厘米）
所以，阴影部分的周长是20.7厘米，阴影部分的面积是9.8125平方厘米。
（2）周长：
＝
＝
＝
＝50.24（厘米）
面积：
＝
＝
＝
＝
＝
＝50.24（平方厘米）
所以，阴影部分的周长是50.24厘米，阴影部分的面积是50.24平方厘米。
19．0.09米
【分析】先用9减去草绳剩下的长度即可求出围了30圈用的长度，再除以30即可求出围1圈的长度，围1圈的长度就是这个圆的周长，根据圆周长公式：C=πd，把数代入即可求出直径。
【详解】9－0.63＝8.37（米）
8.37÷30＝0.279（米）
0.279÷3.1＝0.09（米）
答：这课小树的树干直径是0.09米。
20．
56.52平方米
【分析】根据半圆的周长的逆运算，，即可求出半径，再根据圆的面积公式，求出圆的面积再除以2，即可得解。
【详解】半径：30.84÷（3.14＋2）
＝6（米）
面积：3.14×62÷2
＝56.52（平方米）
答：它的占地面积是56.52平方米。
21．正确
【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出直径是10米的圆的周长，再除以2，求出圆的周长的一半，再加上直径的长度，即可求出这个半圆形花坛的周长，也就是用篱笆的长度，再进行比较即可；
根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出圆的面积，再除以2，即可求出半圆形花坛的面积，再进行比较即可。
【详解】3.14×10÷2＋10
＝31.4÷2＋10
＝15.7＋10
＝25.7（米）
25.7米＝25.7米，篱笆长度的计算结果正确。
3.14×（10÷2）2÷2
＝3.14×52÷2
＝3.14×25÷2
＝78.5÷2
＝39.25（平方米）
39.25平方米＝39.25平方米，面积计算结果正确。
张红的计算结果对正确。
答：张红的计算结果正确。
22．3.14平方厘米
【分析】根据题意可知，正方形中被圆盖住的面积就是一个半径是（2÷2）厘米的圆的面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。
【详解】3.14×（2÷2）2
＝3.14×12
＝3.14×1
＝3.14（平方厘米）
答：方形中被圆盖住的面积是3.14平方厘米。
23．49.98厘米
【分析】从图中可知，绳子的长度＝直径为7厘米圆的周长＋4条直径，根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。
【详解】3.14×7＋7×4
＝21.98＋28
＝49.98（厘米）
答：绳子的长度是49.98厘米。
24．20.52平方米
【分析】如图①②，两个喷头喷到草坪的范围都是半径为6米的圆的；如图③，两个喷头都能喷到的范围即是重合的部分；
重合部分的面积＝半径为6米的圆面积的×2－边长为6米的正方形面积，根据圆的面积公式S＝πr2，正方形的面积公式S＝a2，代入数据计算求解。
【详解】3.14×62××2－6×6
＝3.14×36××2－36
＝56.52－36
＝20.52（平方米）
答：两个喷头都能喷到的草坪面积是20.52平方米。
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